代数 【代数】クロネッカー積の定義と計算例
行列\(A = (a_{ij}) \)および行列\(B\)のクロネッカー積は \begin{align}A \otimes B=\begin{pmatrix}a_{11} B & \cdots & a_{1n} B\\a_{21} B & ...
2022-06
代数 制御工学 【制御】ドイルの記法を使った伝達関数表現
ドイルの記法を用いれば状態方程式 \begin{align}\dot{x}(t)&=Ax+Bu\\y(t)&=Cx+Du\end{align} の伝達関数を \begin{align}G(s)=C(sI-A)^{-1} B + D= \le...
制御工学 【制御】無限大ノルムの性質２
伝達関数\(G(s)\)について、\(H_{\infty}\)ノルムは \begin{align}\parallel G(s) \parallel_{\infty} = \sup_\omega \left | G(s) \right |\e...
制御工学 【制御】無限大ノルムの性質１
無限大ノルム \begin{align}\parallel G(s) \parallel_{\infty} = \sup_\omega \left | G(s) \right |\end{align} は伝達関数\(G(s)\)の\(s=j...
python 【制御】互いに逆数の関係にあるシステムのボード線図と性質
2つのシステムが \begin{align}G_1=\frac{1}{s^2+s+1} \hspace{10mm} G_2= \frac{1}{G_1}\end{align} のような逆数の関係にある時、それぞれのボード線図は\(x=0\)...
python 【制御】直列に接続されたシステムのボード線図と性質
2つのシステム \begin{align}G_1=\frac{1}{s} \hspace{10mm} G_2=\frac{1}{s^2+s+1}\end{align} が直列に接続されているとき、全体のボード線図はそれぞれの伝達関数のボード...
数学 【解析】高階微分の表記
\(n \in \mathbb{N} \)回の繰り返し微分可能な関数\(f(x)\)について、同じ変数\(x\)について繰り返し微分することを高階微分という。 高階微分は次のように表現する。 \begin{align}\frac{d^n}{...
数学 【解析】高階微分の定義
\(n \in \mathbb{N} \) について、\(n\)回微分可能な関数\(f(x)\)の\(n-1\)回目の導関数を\( f^{(n-1)}(x)\) とすると、\(n\)回目の導関数は\(f^{(n)}(x) \) と記述するこ...
数学 【解析】双曲線関数と三角関数の相互関係
三角関数の複素数表示 \begin{align}\sin x= \frac{e^{i x } - e^{- i x} }{2 i} \hspace{10mm} \cos x= \frac{e^{i x } + e^{- i x} }{2 }...
python 【解析】双曲線関数の性質３
双曲線関数 \begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align} について \begin{align}\sinh x...
python 【解析】双曲線関数の性質２
双曲線関数 \begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align} について \begin{align}\sinh x...
数学 【解析】双曲線関数の性質１
双曲線関数 \begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align} について \begin{align}\sinh^2...
数学 【解析】Pythonでライブラリを使わずに双曲線関数を計算する
Pythonで双曲線関数を計算する場合 np.sinh(theta) などとすればいいが、使わずに計算することもできる。双曲線関数の定義 \begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh...
数学 【解析】双曲線関数を定義する
双曲線関数はネイピア数\(e\)を用いて \begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align} \(\tanh x\...
python 【解析】Pythonで三角関数３種のグラフを描く
Pythonで三角関数 \begin{align}y&= \sin x\\y&= \cos x\\y&= \tan x\\\end{align} を描く。結果 以下ソースコード import numpy as np import matpl...
python 【解析】Pythonで双曲線関数を描く
Pythonで双曲線関数 \begin{align}y&= \sinh x\\y&= \cosh x\\y&= \tanh x\\\end{align} を描く。結果 以下ソースコード import numpy as np import m...
MATLAB/simulink 【解数】Pythonで指数と対数のグラフを描く
指数と対数のグラフを描く。以下ソースコード import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(-10.0, 10.0, 0.02) plt.plot(x, x*...
python 【解析】Pythonで三次関数のグラフを描く
pythonで二次関数のグラフを描く。三次関数は \begin{align}f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0)\end{align} のような関数でこれをただ計算すればいい。例えば \begin{align}y=x^3+2x^...
代数 【代数】単位行列の定義
次のような行列を単位行列といい、\(E\)または\(I\)で表す。 \begin{align}E=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\\vdots &...
代数 【代数】二項定理とは
次のような展開 \begin{align}(x+y)^{1}&=x+y\\(x+y)^{2}&=x^2+2xy+y^2\\(x+y)^{3}&=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\end{align} を考えると、一般には次のような規則...