ラプラス変換

ラプラス変換

ラプラス変換の定義

時間関数が\(at^n\)のときのラプラス変換

時間関数が\(1\)のとき

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty 1 \cdot e^{-st} dt\\
&=\left [ – \frac{e^{-st}}{s} \right ]_0^\infty\\
&=\frac{1}{s}
\end{align}

時間関数が\(a\)のとき

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty a \cdot e^{-st} dt\\
&=a \int_0^\infty 1 \cdot e^{-st} dt\\
&=a \left [ – \frac{e^{-st}}{s} \right ]_0^\infty\\
&=\frac{a}{s}
\end{align}

時間関数が\(t\)のとき

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty t \cdot e^{-st} dt\\
&=\left [ – t \frac{e^{-st}}{s} \right ]_0^\infty + \frac{1}{s} \int_0^\infty 1 \cdot e^{-st} dt \\
&=\frac{1}{s}
\end{align}

時間関数が\(t^2\)のとき

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty t^2 \cdot e^{-st} dt\\
&=\left [ – t^2 \frac{e^{-st}}{s} \right ]_0^\infty + \frac{2}{s} \int_0^\infty t \cdot e^{-st} dt \\
&=\frac{2}{s^3}
\end{align}

時間関数が\(t^3\)のとき

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty t^3 \cdot e^{-st} dt\\
&=\left [ – t^3 \frac{e^{-st}}{s} \right ]_0^\infty + \frac{3}{s} \int_0^\infty t^2 \cdot e^{-st} dt \\
&=\frac{6}{s^4}
\end{align}

時間関数が\(t^n\)のとき

時間関数が\(t^{n-1}\)のとき

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty t^2 \cdot e^{-st} dt = \frac{(n-1)!}{s^n}
\end{align}

が成り立つとすると\(t^n\)のとき

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty t^n \cdot e^{-st} dt\\
&=\left [ – t^n \frac{e^{-st}}{s} \right ]_0^\infty + \frac{n}{s} \int_0^\infty t^{n-1} \cdot e^{-st} dt \\
&=\frac{n!}{s^{n+1}}
\end{align}

時間関数が指数関数のときのラプラス変換

時間関数が\(e^{\alpha t}\)のとき

\begin{align}
F(s)&=\int_0^\infty e^{\alpha t} \cdot e^{-st} dt\\
&=\int_0^\infty e^{(\alpha – s)t } dt\\
&=\left [\frac{e^{(\alpha – s)t}}{\alpha – s} \right ]_0^\infty \\
&=\frac{1}{s – \alpha}
\end{align}

時間関数が三角関数のときのラプラス変換

時間関数が\(\sin \omega t\)

Eulerの公式

\begin{align}
e^{i \omega t } = \cos \omega t + i \sin \omega t \hspace{10mm} e^{- i \omega t } = \cos \omega t – i \sin \omega t
\end{align}

したがって\(\sin \omega t\)は

\begin{align}
\sin \omega t = \frac{1}{2i} \left( e^{i \omega t } -e^{ -i \omega t } \right)
\end{align}

と表すことができる。これをラプラス変換すれば

\begin{align}
F(s) &= \frac{1}{2i} \left( \frac{1}{s – i \omega } – \frac{1}{s+ i \omega } \right)\\
&= \frac{1}{2i} \frac{2 \omega i}{s^2 + \omega^2}\\
&= \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}
\end{align}

を得る。

時間関数が\(\cos \omega t\)のとき

Eulerの公式より

\begin{align}
e^{i \omega t } = \cos \omega t + i \sin \omega t \hspace{10mm} e^{- i \omega t } = \cos \omega t – i \sin \omega t
\end{align}

したがって\(\cos \omega t\)は

\begin{align}
\cos\omega t = \frac{1}{2} \left( e^{i \omega t } + e^{ -i \omega t } \right)
\end{align}

と表すことができる。これをラプラス変換すれば

\begin{align}
F(s) &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s – i \omega } + \frac{1}{s+ i \omega } \right)\\
&= \frac{1}{2} \frac{2 s }{s^2 + \omega^2}\\
&= \frac{s}{s^2 + \omega^2}
\end{align}

を得る。

時間関数が双曲線関数のとき

時間関数が\(\sinh \omega t\)のとき

\begin{align}
\mathcal{L} [\sinh \omega t] & =\mathcal{L} \left [ \frac{e^{\omega t} – e^{-\omega t}}{2}\right] \\
& =\frac{1}{2} \left( \mathcal{L} [e^{\omega t}]-\mathcal{L} [e^{-\omega t}] \right) \\
& =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{s-\omega}-\frac{1}{s+\omega} \right)\\
& =\frac{\omega}{s^2-\omega^2}
\end{align}

時間関数が\(\cosh \omega t\)のとき

\begin{align}
\mathcal{L} [\cosh\omega t] & =\mathcal{L} \left [ \frac{e^{\omega t}+e^{-\omega t}}{2}\right]\\
& =\frac{1}{2}\left( \mathcal{L} [e^{\omega t}]+\mathcal{L}[e^{-\omega t}] \right) \\
& =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{s-\omega}+\frac{1}{s+\omega} \right) \\
& =\frac{s}{s^2-\omega^2}
\end{align}

ラプラス変換の線形性

定義に従い計算すれば良い。\(a,b\)を定数とすると

\begin{align}
\mathcal{L} [a f(t)+b g(t)] & = \int_0^\infty e^{-st} (a f(t) + b g(t)) dt \\[1.5ex]
& =a \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt + b \int_0^\infty e^{-st} g(t) dt \\[1.5ex]
& =a \mathcal{L} [f(t)] + b \mathcal{L} [g(t)]
\end{align}

を得る。

時間関数が畳み込み積分のとき

畳み込み積分のラプラス変換は次のようになる。

\begin{align}
\mathcal{L}[f(t)*g(t)]&=\int_0^{\infty}e^{-st}\int_0^tf(u)g(t-u)dudt \\
&=\int_0^{\infty}f(u)\int_u^{\infty}g(t-u)e^{-st}dtdu \\
&=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}f(u)g(v)e^{-s(u+v)}dvdu \\
&=\int_0^{\infty}f(u)e^{-su}du\int_0^{\infty}g(v)e^{-sv}dv \\
&=F(s)G(s)
\end{align}

ラプラス逆変換

ラプラス逆変換の定義