現代制御

線形システム \begin{align}\dot{x} (t) = A x(t) + B u(t)\end{align} について、行列 \begin{align}A-BK\end{align} の固有値の実部が全て負になるような状態フィー...

\( \forall \varepsilon > 0\)に対して\(\delta > 0\)が存在して、\(\| x_0 - x_e \| < \delta \)となる初期状態\(x_0\)について、\(\| x(t) - x_e \| <...

入力\(u(t)\)と状態ベクトル\(x(t)\)を用いて記述される次のシステムがあるとする。 \begin{align}y=f(x(t),u(t))\end{align} このシステムの内部安定性を調べるために\(u(t)\)を時間関数に...

制御対象の状態方程式を次で与える。 \begin{align}\frac{dx}{dt}=Ax+Bu\end{align} ここで\(x\)を状態ベクトル、\(u\)を入力、\(A,B\)は係数行列である。 この制御対象について、LQ制御問...

ある行列\(A\)について状態遷移行列\(e^{At}\)は次のようにして求める。 \begin{align}e^{At}=\mathcal{L}^{-1} \end{align}

ある物理システムをそのまま状態方程式にしたもの、あるいはその拡大系が次のように表されているとする。 \begin{align}\dot{x}(t) &= Ax(t)+Bu(t)\\y(t) &= Cx(t)+Du(t)\end{align}...

ドイルの記法を用いれば状態方程式 \begin{align}\dot{x}(t)&=Ax+Bu\\y(t)&=Cx+Du\end{align} の伝達関数を \begin{align}G(s)=C(sI-A)^{-1} B + D= \le...

あるシステムを表す線形非同次微分方程式 \begin{align}\dot{x} (t) = Ax(t) +Bu(t) \hspace{5mm} x(t_0)=x_0\end{align} の解を求める。 \begin{align} \do...

線形時不変なシステム \begin{align}H(s)=\frac{1}{s^2+s+1}\end{align} \(H(j \omega)\)の絶対値は \begin{align}H(j \omega)=\frac{1}{\omega^...

線形時不変なシステム \begin{align}\dot{x}(t)&=Ax(t) + bu(t)\\y(t)&=cx(t) \\e(t)&=-y(t)\end{align} に対しフィードバック則 \begin{align}u(t)=\p...

とくに現代制御においては行列の指数関数を計算する場面が現れる。行列の指数関数は \begin{align} e^{A}, \exp A, \end{align} で表される。いま、行列の指数関数を \begin{align} e^A=\su...

線形時不変な多入力多出力なシステム \begin{align}\dot{x}(t)&=Ax(t)+Bu(t) \\y(t)&=Cx(t)\end{align} をPID制御則は \begin{align}u(t)=K_{P} (r-y(t)...

線形システムの安定性を考える。このとき \begin{align}V(x)=x^{T} Px\end{align} と考えればその微分は \begin{align}\dot{V} (x)=\dot{x}^{T} P x + x^{T} P ...