線形時不変な多入力多出力なシステム
\begin{align} \dot{x}(t)&=Ax(t)+Bu(t) \\ y(t)&=Cx(t) \end{align}
をPID制御則は
\begin{align} u(t)=K_{P} (r-y(t)) +K_{I} \int_{0}^{t} (r-y(\tau)) d \tau +K_{D} \frac{d}{dt} (r-y(t)) \end{align}
のように表すことができる。ここで
\begin{align} z=\int_{0}^{t} -y(\tau) d \tau \end{align}
とおき、r=0とすればPID制御則は
\begin{align} u(t)= K_{I} z – K_{P} y(t) – K_{D} \dot{y}(t) \end{align}
となる。簡単にするため変数
\begin{align} \overline{F}_{P}&=(I+K_{D}CB)^{-1} K_{P}\\ \overline{F}_{I}&=(I+K_{D}CB)^{-1} K_{I}\\ \overline{F}_{D} &=(I+K_{D}CB)^{-1} K_{D} \end{align}
を定義すればこれよりPID制御則は
\begin{align} u(t)= \overline{F}_{I} z – \overline{F}_{P} Cx(t) – \overline{F}_{D} CA x(t) \end{align}
とすることができる。さらにzを微分すれば
\begin{align} \dot{z}(t)=-y(t)=-Cx(t) \end{align}
となるので、これらを用いて拡大システムを構築すれば
\begin{align} \begin{bmatrix} \dot{x}(t) \\ \dot{z}(t) \end{bmatrix}= \overline{A} \begin{bmatrix} x(t) \\ z(t) \end{bmatrix}+\overline{B}u(t) \end{align}
PID制御による閉ループ系は
\begin{align} \begin{bmatrix} A-B(\overline{F}_{P} C + \overline{F}_{D} CA) & B \overline{F}_{I} \\ -C & O \end{bmatrix}= \overline{A} \begin{bmatrix} x(t) \\ z(t) \end{bmatrix} \end{align}
また、u(t)についても整理すれば容易に
\begin{align} u(t)= – \overline{F} \overline{C} \begin{bmatrix} x(t) \\ z(t) \end{bmatrix} \end{align}
ここで
\begin{align} \overline{y}(t)= \overline{C} \begin{bmatrix} x(t) \\ z(t) \end{bmatrix} \end{align}
とすれば
\begin{align} u(t)= – \overline{F} \overline{y}(t) \end{align}
とすることができる。これにより、拡大システムは静的出力フィードバック
\begin{align} \begin{bmatrix} \dot{x}(t) \\ \dot{z}(t) \end{bmatrix}= (\overline{A} – \overline{B} \overline{F} \overline{C} ) \begin{bmatrix} x(t) \\ z(t) \end{bmatrix} \end{align}
と等価になる。これによりゲインK_{P},K_{I},K_{D}は
\begin{align} K_{P}&=\{I + \overline{F}_{D} (I -C B \overline{F}_{D})^{-1} CB \}\overline{F}_{P} \\ K_{I}&=\{I + \overline{F}_{D} (I -C B \overline{F}_{D})^{-1} CB \}\overline{F}_{I} \\ K_{D}&=\overline{F}_{D} (I – CB \overline{F}_{P}) ^{-1} \end{align}
となる。
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