双一次変換とパデ近似

\(s\)領域から\(z\)領域への変換はサンプリング時間を\(T\)とすると

\begin{align}
z &=e^{sT} \\
&=\frac{ e^{s T/2} }{e^{-s T/2 }}
\end{align}

ここで\( e^{sT} \)のテイラー展開は

\begin{align}
e^{sT} = 1 + sT + \frac{(sT)^2}{2} + \frac{(sT)^3}{6} +\cdots
\end{align}

となることから

\begin{align}
z= \frac{ 1+\frac{sT}{2} + \cdots }{1-\frac{sT}{2} + \cdots }
\end{align}

一次までで近似すれば

\begin{align}
z \approx \frac{ 1+\frac{sT}{2} }{1-\frac{sT}{2} }
\end{align}

を得る。

双一次変換で作った関数と元の指数関数をテイラー展開すれば２次までの項で厳密に一致することが確認できる。