双一次変換とパデ近似

$s$領域から$z$領域への変換はサンプリング時間を$T$とすると

$$\begin{align} z &=e^{sT} \\ &=\frac{ e^{s T/2} }{e^{-s T/2 }} \end{align}$$

ここで$e^{sT}$のテイラー展開は

$$\begin{align} e^{sT} = 1 + sT + \frac{(sT)^2}{2} + \frac{(sT)^3}{6} +\cdots \end{align}$$

となることから

$$\begin{align} z= \frac{ 1+\frac{sT}{2} + \cdots }{1-\frac{sT}{2} + \cdots } \end{align}$$

一次までで近似すれば

$$\begin{align} z \approx \frac{ 1+\frac{sT}{2} }{1-\frac{sT}{2} } \end{align}$$

を得る。

双一次変換で作った関数と元の指数関数をテイラー展開すれば２次までの項で厳密に一致することが確認できる。