双一次変換を使ってPID制御器の伝達関数を離散化する

PID制御器の伝達関数

\begin{align}
C(s)=K_P + \frac{K_ I}{s} + K_D s
\end{align}

を双一次変換で離散化する。\(s\)に

\begin{align}
s=\frac{2(1-z^{-1})}{ T_{s} (1+z^{-1}) }
\end{align}

を代入すれば

\begin{align}
C(s)&=K_P + \frac{K_ I}{\dfrac{2(1-z^{-1})}{ T_{s} (1+z^{-1}) }} + K_D \frac{2(1-z^{-1})}{ T_{s} (1+z^{-1}) }\\
&=K_P + \frac{K_ I T_{s} (1+z^{-1})}{2(1-z^{-1})} + K_D \frac{2(1-z^{-1})}{ T_{s} (1+z^{-1}) }\\
\end{align}

\(\Delta=2(1-z^{-1})\)とすると

\begin{align}
C(s)&=K_P + \frac{K_ I T_{s} (1+z^{-1})}{\Delta } + K_D \frac{\Delta }{ T_{s} (1+z^{-1}) }\\
&=\frac{1}{\Delta} \left [ K_P \Delta + K_ I T_{s} (1+z^{-1}) + K_D \frac{\Delta^2 }{ T_{s} (1+z^{-1}) } \right ] \\
\end{align}