集合・位相

\(X,\mathcal{O}\)を位相空間とする。 \begin{align}{}^{\forall} x_1,x_2 \in X (x_1 \neq x_2) \hspace{2mm} {}^{\exists} \mathcal{O}_...

集合\(A\)に属して\(B\)に属さない集合を差集合といい \begin{align}A-B=\{x | x \in A \land x \not \in B \}\end{align} と表す。

集合を元とする集合を集合族という。 例えば\(A\)を集合として\(A\)の各要素に\(B_i\)が対応しているとする。この時この集合族を \begin{align}\{ B_{i} \} _{i \in A}\end{align} などと...

集合\(A,B\)について、\(A \subset B\)かつ\(B \subset A\)のとき\(A\)と\(B\)は等しいといい\(A = B\)と表す。

いくつかのものをまとめたものを集合という。例えば「果物」であれば \begin{align}\mbox{くだもの}=\{\mbox{いちご},\mbox{アケビ},\mbox{みかん},\cdots \}\end{align} 等がある。ほ...

ある集合にひとつも要素が含まれていないとき、その集合を空集合と言い \begin{align}\phi\end{align} で表す。

和集合を定義して性質を調べる。今集合\(A,B\)について \begin{align}A \cup B = \left \{ x | x \in A \ \mathrm{or} \ x \in B \right \}\end{align} ...

和共通部分を定義して性質を調べる。今集合\(A,B\)について \begin{align}A \cap B = \left \{ x | x \in A \ \mathrm{and} \ x \in B \right \}\end{alig...

集合\(S,T\)の直積\(S \times T\)とは、\(S\)の元と\(T\)の元の組の全体の集合のことをいう。すなわち \begin{align}S \times T := \{(s,t) | s\in S , t \in T \}...

ある集合\(A\)と\(B\)について、どちらにも含まれている元を集めた集合を積集合といい \begin{align}A \cap B\end{align} で表す。 例えば\(A=\{ 1,2,3,4,5 \} \)と\(B=\{ 5,6...

開区間と閉区間の厳密な定義は置いておいて、これらを考えてみる。開区間の例 \begin{align}(0,1) = \left \{ x| 0 < x < 1 \right \}\end{align} 閉区間の例 \begin{align}...

集合\( S \)に対し、部分集合の族\(\mathcal{O}\)が次の条件\begin{align}& S \in \mathcal{O} ,\phi \in \mathcal{O}\tag{1} \\& U_{1} , \cdots ...

集合\( S \)に対し、部分集合の族\(\mathcal{O}\)が次の条件 \begin{align}& S \in \mathcal{O} ,\phi \in \mathcal{O}\tag{1} \\& U_{1} , \cdots...