ベクトルの微分と積分
ベクトルの関数と導関数
ある実数\(t\)によってベクトル\(A\)が定まる時、これをベクトル関数といい\(A(t)\)と書く。\(A(t)\)の変数が\(A_x,A_y,A_z\)であれば
\begin{align}
A(t)=A_x(t) \boldsymbol{i}+A_y(t) \boldsymbol{j}+A_z(t) \boldsymbol{k}
\end{align}
と表すことができる。
ベクトル関数の微分係数は次で与えられる。
ベクトル関数の微分\(A(t)\)の微分係数は
\begin{align}
\frac{d\boldsymbol{A}(t)}{dt}=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{A(t + \Delta t)-A(t)}{\Delta t}
\end{align}
となる。
ベクトルの微分は各成分ごとに微分したものと等しい。即ち
\begin{align}
\frac{d \boldsymbol{A}(t)}{dt}=\frac{dA_x(t)}{dt} \boldsymbol{i}+\frac{dA_y(t)}{dt}\boldsymbol{j}+\frac{dA_z(t)}{dt}\boldsymbol{k}
\end{align}
となる。
\begin{align}
\frac{d \boldsymbol{K}}{dt} = 0
\end{align}
\begin{align}
\frac{d \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}}{dt} =\frac{d \boldsymbol{A}}{dt}+\frac{d \boldsymbol{B}}{dt}
\end{align}
ベクトルの演算
内積
ベクトルの微分は各成分ごとに微分したものと等しい。即ち
\begin{align}
\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} &=a_{1} b_{1} +a_{2} b_{2} + \cdots +a_{n-1} b_{n-1} +a_{n} b_{n} \\
&=|| \boldsymbol{A} || || \boldsymbol{B} || \cos \theta
\end{align}
となる。