伝達関数から状態方程式への変換例

線形時不変な伝達関数と状態方程式との変換を考える。

\begin{align}
G(s)=\frac{5}{s^2-3s+4}
\end{align}

\begin{align}
U(s)&= s^2-3s+4 \\
Y(s)&=5
\end{align}

ここで\(X_i (s)\)を

\begin{align}
X_i=s^{i-1} Z(s)
\end{align}

と定め、\(U(s),Y(s)\)に\(Z(s)\)を乗じると
\begin{align}
U(s)&= s^2Z(s)-3sZ(s)+4Z(s) \\
Y(s)&=5Z(s)
\end{align}

整理して

\begin{align}
sX(s)&= 3X_{2} – 4X_{1} +U(s)\\
Y(s)&=5 X_{1}
\end{align}

逆ラプラス変換すると

\begin{align}
\begin{bmatrix}
\dot{x}_{1} \\
\dot{x}_{2}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-4 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2}
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
0 \\ 1
\end{bmatrix} u(t) \hspace{5mm}
y=\begin{bmatrix}
5 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2}
\end{bmatrix}
\end{align}

となる。

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