代数

代数

同じ区間で同じ関数を何度も積分する

\(f(x)=1\)とする。この関数を\(a\)から\(b\)まで複数回積分すると \begin{align}\int_a^b 1 dx=a-b\end{align} \begin{align}\int_a^b \int_a^b 1 dx ...
代数

クロネッカー積の命題

クロネッカー積には次の関係が成り立つ。 \begin{align}x_1 \otimes (y_1+y_2)&=x_1 \otimes y_1 + x_1 \otimes y_2 \\(x_1 + x_2 ) \otimes y_1 &=x...
代数

約数の総和

\(n\)が\(n=p_1^a p_2^b p_3^c \cdots \)と素因数分解できる時、約数の総和は \begin{align}(1+p_1+p_1^2+\cdots+p_1^a)(1+p_2+p_2^2+\cdots+p_2^b)...
代数

合同数と3次方程式が有理数解を持つ条件

合同数の定義 \begin{align} \begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\displaystyle \frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align} 楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完...
代数

合同数と平方数

合同数の定義 \begin{align} \begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\displaystyle \frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align} 楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完...
代数

合同数と楕円曲線の関係

合同数の定義 \begin{align} \begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align} 楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成すれば \begin{al...
代数

合同数である条件を定式化

\(n\)が合同数であるとは \begin{align}\begin{cases}x^2+y^2=z^2\\\frac{xy}{2}=n\end{cases}\end{align} となる有理数\(x,y,z\)が存在することである。
代数

5^100000の一の位の数

\(5 \times 5\)が\(25\)であることから\(5\)
代数

2^100の1の位の数

\(2^{100}\)を計算したときの1の位の数を求める。1の位に注目すると \begin{align}2,4,8,6,2,4 \cdots \end{align} と続く。4個の繰り返しなので25回の繰り返しが現れる。余りはないので1の位...
MATLAB/simulink

MATLABでベルヌーイ数を求める

これの続き N=6; B=zeros(1,N); B(1,1) = 1; disp(B(1,1)); for i = 2:1:N B(1,i) = getBernoulliNumber(i, B); disp(B(1,i)); end fu...
代数

部分分数分解の公式 その1

\(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\)は次の関係がある。 \begin{align}\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}=\frac{n}{n(n-1)} - \frac{n-1}{n(n-1)}=...
MATLAB/simulink

MATLABでスターリングの公式を計算する

スターリングの公式は \begin{align}n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \end{align} で表される。 以下コード。 stirling(3) functi...
MATLAB/simulink

MATLABでディリクレ核を描画する

ディリクレ核 \begin{align}D_n(x)=1+2\sum_{k=1}^{n} \cos (kx) = \frac{\sin \left( \frac{2n+1}{2}\right )x}{\sin \frac{x}{2}}\en...
代数

冪乗の和公式

冪乗の和公式は次式で与えられる。 \begin{align}\sum_{i=1}^{n} i^k = \sum_{j=0}^{k} i^k \begin{pmatrix}k \\ j\end{pmatrix}B_j \frac{n^{k+1...
代数

二次方程式の複素解と共有点の場所

二次方程式 \begin{align}y=ax^2+bx+c\end{align} について複素解になるのは \begin{align}b^2-4ac<0\end{align} のときである。このときの共有点の場所を調べる。 \(x=p+q...
代数

二次方程式の解の差

二次方程式 \begin{align}ax^2+bx+c=0\end{align} の解は \begin{align}x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align} となる。2つの解をそれぞれ\(...
代数

オイラー積と素数

オイラー積 \begin{align}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}(pは素数)\end{align} について\(s=-1\)のとき \begi...
C/C++/C#

Σの公式を計算する その2

C++でΣの公式を計算する。今回計算する公式は次の通り。 \begin{align}\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left \{ \frac{n(n + 1)}{2} \right \}^2\end{align} 以下コード
代数

2点を通る直線の方程式

傾き\(a\)の直線の方程式は \begin{align}y=ax+b\end{align} 点\((x_1,y_1)\)を通るので \begin{align}y_1=ax_1+b\end{align} \(b\)を消去して \begin{...
python

numpyで行列の積を計算する

np.dot(A, B)でできる。