合同数と３次方程式が有理数解を持つ条件

合同数の定義

\begin{align}
\begin{cases}
X^2+Y^2=Z^2\\
\displaystyle \frac{XY}{2}=n
\end{cases}
\end{align}

楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成すれば

\begin{align}
(X+Y)^2=Z^2+4n \\
(X-Y)^2=Z^2-4n \\
\end{align}

これらを掛けて\(u=\displaystyle \frac{Z}{2},v=\displaystyle \frac{X^2-Y^2}{4}\)とすれば

\begin{align}
v^2=u^4-n^2
\end{align}

となり、有理数解を持つ。