オイラーの公式を使ってcos(90°－θ)＝sinθの導出する

オイラーの公式を使って\(\cos(90^\circ – \theta)= \sin \theta \)を導出する。

\begin{align}
e^{i(90^\circ-\theta)}&=e^{i 90^\circ} e^{-i \theta} \\
&=(\cos 90^\circ + i\sin 90^\circ)(\cos i\theta – i\sin \theta)\\
&=(\cos 90^\circ + i\sin 90^\circ)(\cos \theta – i\sin \theta)\\
&= \cos 90^\circ \cos \theta – i \cos 90^\circ \sin \theta + i\sin 90^\circ \cos \theta + \sin 90^\circ \sin \theta
\end{align}

実部を考えれば

\begin{align}
\cos 90^\circ \cos \theta + \sin 90^\circ \sin \theta &= \sin 90^\circ \sin \theta \\
&= \sin \theta
\end{align}

よって

\begin{align}
\cos(90^\circ – \theta )=\sin \theta
\end{align}