プラトンの多面体定理をオイラーの多面体定理を使って証明する

正\( n \)角形のからなる正多面体を\( T \)とおく。いま正多面体の各頂点から\(q\)本の辺が出ているとすると、\(v=v(T),e=e(T),f=f(T)\)とおいてオイラーの多面体定理に当てはめれば

\begin{align}
v-e+f=2
\end{align}

各頂点から出る辺をすべて足すと

\begin{align}
vq=2e
\end{align}

同様に各面の辺\(n\)をすべて足し合わせれば

\begin{align}
fn=2e
\end{align}

これより

\begin{align}
e=\frac{2qn}{2n+2q-qn} \hspace{10mm} v=\frac{4n}{2n+2q-qn} \hspace{10mm} f=\frac{4q}{2n+2q-qn}
\end{align}

\(v,e,f \in \mathbb{Z}_{+}\)より

\begin{align}
(n-2)(x-2) < 4
\end{align}
よりこれを満たすものは
\begin{align}
(n,x)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)
\end{align}
これらはそれぞれ、正四面体、正八面体、正二十面体、正六面体、正十二面体に対応している。