オイラーの公式とマクローリン展開

指数関数\(e^x\)のマクローリン展開は

\begin{align}
e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+ \cdots
\end{align}

で与えられる。

いま\(x= j \theta \)とすれば

\begin{align}
e^{x}=1+j \theta+\frac{(j \theta)^2}{2}+\frac{(j \theta)^3}{6}+ \cdots
\end{align}

ここでマクローリン展開によって三角関数はそれぞれ

\begin{align}
\sin \theta&=1-\frac{\theta^2}{2}+\frac{\theta^4}{24}+ \cdots \\
\cos \theta&= \theta-\frac{\theta^3}{2}+\frac{\theta^5}{120}+ \cdots
\end{align}

となる。これらの結果から

\begin{align}
e^{j \theta } = \cos \theta + j \sin \theta
\end{align}

を得る。