双一次変換を使って二次遅れ系の伝達関数を離散化する

二次遅れ系の伝達関数

\begin{align}
G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}
\end{align}

を双一次変換で離散化する。\(s\)に

\begin{align}
s=\frac{2(1-z^{-1})}{ T_{s} (1+z^{-1}) }
\end{align}

を代入すれば

\begin{align}
H(z^{-1})&=\dfrac{\xi + 2 \xi z^{-1} + \xi z^{-2}}{1+2 \left ( 1- \dfrac{4}{\omega_ {n}^{2} T_{s}^{2}} \right ) \xi z^{-1} + \left ( 1-\dfrac{4 \zeta }{\omega_ {n} T_{s}} + \dfrac{4}{\omega_{n}^{2} T_{s}^{2}} \right ) \xi z^{-2}}\\
\xi& = \dfrac{1}{ 1 + \dfrac{4 \zeta }{\omega_ {n} T_{s}} + \dfrac{4}{\omega_{n}^{2} T_{s}^{2} }}
\end{align}

これより

\begin{align}
y[t]&= \xi u[t] + 2 \xi u[t-1] + \xi u[t-2] – 2 \left( 1- \frac{4}{\omega_ {n}^{2} T_{s}^{2}} \right) \xi y[t-1] \\
&\hspace{10mm} – \left ( 1- \dfrac{4 \zeta }{\omega_ {n} T_{s}} + \frac{4}{\omega_{n}^{2} T_{s}^{2}} \right ) \xi y[t-2]
\end{align}