円の方程式から円の面積公式を求める

円の方程式$x^2+y^2=r^2$より

$$\begin{align} S=2\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2} \end{align}$$

$x=r\sin\theta\:(-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2})$として置換積分をすれば$\dfrac{d x}{d \theta }=r \cos \theta$より

$$\begin{align} S&=2\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^2-r^2\sin^2\theta}\cdot(r\cos\theta)d\theta =2 r^2\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta \end{align}$$

$$\begin{align} S&= 2r^2\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}d\theta= r^2 \left[\theta+\dfrac{\sin 2\theta}{2}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}= \pi r^2 \end{align}$$

また、$r=1$より

$$\begin{align} S =\pi \end{align}$$

となる。