円の方程式から円の面積公式を求める

円の方程式\(x^2+y^2=r^2\)より

\begin{align}
S=2\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}
\end{align}

\(x=r\sin\theta\:(-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}) \)として置換積分をすれば\( \dfrac{d x}{d \theta }=r \cos \theta \)より

\begin{align}
S&=2\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^2-r^2\sin^2\theta}\cdot(r\cos\theta)d\theta =2 r^2\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta
\end{align}

\begin{align}
S&= 2r^2\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}d\theta= r^2 \left[\theta+\dfrac{\sin 2\theta}{2}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}= \pi r^2
\end{align}

また、\(r=1\)より

\begin{align}
S =\pi
\end{align}

となる。