【解析】双曲線関数と三角関数の相互関係

三角関数の複素数表示

\begin{align}
\sin x= \frac{e^{i x } – e^{- i x} }{2 i} \hspace{10mm} \cos x= \frac{e^{i x } + e^{- i x} }{2 }
\end{align}

とオイラーの公式

\begin{align}
e^{ix} = \cos x + i\sin x
\end{align}

双曲線関数

\begin{align}
\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\hspace{10mm} \cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
\end{align}

とその関係

\begin{align}
e^{x} = \sinh x + \cosh x
\end{align}

より

\begin{align}
\sinh x &= -i \sin ix\\
\cosh x &= \cos ix
\end{align}

を得る。