実数上の開区間\(I\)上で定義されている関数\(f(x)\)がある。この関数が\(x=a\)において極限\(\alpha\)を持つとは、\(\forall \varepsilon>0,\forall \delta>0\)について
\begin{align}
0<\left | x-a \right | < \delta \Rightarrow \left | f(x)-\alpha \right | < \varepsilon
\end{align}
が成り立つような\(\delta\)が存在することを言う。このとき、
\begin{align}
\lim_{x \to a} f(x) = \alpha
\end{align}
と書く。またこの定義を\(\varepsilon- \delta\)論法を用いた極限の定義という。
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