数学的帰納法の例

数学的帰納法で次の式を証明する。

\begin{align}
2+4+6 + \cdots + 2n = n(n+1)
\end{align}

\(n=1\)のとき

\begin{align}
2 &= 2 \\
n(n+1)&=1 \times (1+1)=2
\end{align}

\(n=k\)

\begin{align}
2+4+6 + \cdots + 2k = k(k+1)
\end{align}

が成り立つとすると\(n=k+1\)のとき

\begin{align}
2+4+6 + \cdots + 2k + 2(k+1)&= k(k+1)+2(k+1)= (k+1)(k+2)\\
\end{align}

よりすべての\(n\)について成り立つ。