冪乗の和公式

冪乗の和公式は次式で与えられる。

\begin{align}
\sum_{i=1}^{n} i^k = \sum_{j=0}^{k} i^k
\begin{pmatrix}
k \\ j
\end{pmatrix}
B_j \frac{n^{k+1-j}}{k+1-j} =\frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^{k}
\begin{pmatrix}
k+1 \\ j
\end{pmatrix}
B_j n^{k+1-j}
\end{align}

ここで\(B_j\)はベルヌーイ数である。