二次方程式の複素解と共有点の場所

二次方程式

\begin{align}
y=ax^2+bx+c
\end{align}

について複素解になるのは

\begin{align}
b^2-4ac<0
\end{align}

のときである。このときの共有点の場所を調べる。

\(x=p+qi\)とすると

\begin{align}
y&=a(p+qi)^2+b(p+qi)+c \\
&=ap^2 + 2apqi -aq^2+bp+bqi+c \\
&=ap^2 -q^2 +bp + c + q(2ap +b)i \\
\end{align}

\(y\)が実数であるには\(q(2ap +b)=0\)より\(q=0,p=\frac{2a}{b}\)

\(q=0\)のとき

\begin{align}
y&=ap^2 +bp + c \\
\end{align}

\(p=-\frac{2a}{b}\)のとき

\begin{align}
y=a\frac{4a^2}{b^2} -q^2 -2a + c + q \left (- \frac{4a^2}{b} +b \right )i \\
\end{align}

を得る。ここから分かるように複素解はp-q平面上に存在する。