クォータニオンを定義してノルムを計算する

クォータニオンのための各変数を定義する。\(\eta,\varepsilon\)を

\begin{align}
\eta &:= \cos\left (\dfrac{\beta}{2} \right )\\[1.5ex]
\boldsymbol{\varepsilon} &=
\begin{pmatrix}
\varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3
\end{pmatrix}:= \boldsymbol{\lambda} \sin \left (\dfrac{\beta}{2} \right )
\end{align}

これより次のようにクォータニオンを定義する。

\begin{align}
\boldsymbol{q}=
\begin{pmatrix}
\eta \\ \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3
\end{pmatrix} \in \mathbb{Q}
\end{align}

ここで定義より、次のような関係を求めることができる。

\begin{align}
\eta^2+\varepsilon_1^2 + \varepsilon_2^2 + \varepsilon_3^2&=\cos^2 \left (\dfrac{\beta}{2} \right ) + \varepsilon_1^2 \sin^2 \left (\dfrac{\beta}{2} \right ) + \varepsilon_2^2 \sin^2\left (\dfrac{\beta}{2} \right ) + \varepsilon_3^2 \sin^2 \left (\dfrac{\beta}{2} \right ) \\
&=\cos^2 \left (\dfrac{\beta}{2} \right ) + \left ( \varepsilon_1^2 + \varepsilon_2^2 + \varepsilon_3^2 \right ) \sin^2 \left (\dfrac{\beta}{2} \right ) \\
\end{align}

ここで

\begin{align}
\varepsilon_1^2 + \varepsilon_2^2 + \varepsilon_3^2=1 \hspace{10mm} \sin^2 x + \cos^2 x = 1
\end{align}

であるので

\begin{align}
\eta^2+\varepsilon_1^2 + \varepsilon_2^2 + \varepsilon_3^2&=1
\end{align}