対数積分とコーシの主値

対数積分

\begin{align}
\mathrm{Li} (x) = \int_0^x \frac{1}{\log t} dt
\end{align}

は\(t=1\)で特異点を持つのでコーシの主値を使って

\begin{align}
\mathrm{Li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_0^{1-\varepsilon } \frac{1}{\log t} dt +\int_{1+\varepsilon}^x \frac{1}{\log t} dt \right )
\end{align}

と表せる。