合同数と楕円曲線の関係

合同数の定義

\begin{align}
\begin{cases}
X^2+Y^2=Z^2\\
\frac{XY}{2}=n
\end{cases}
\end{align}

楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成すれば

\begin{align}
(X+Y)^2=Z^2+4n \\
(X-Y)^2=Z^2-4n \\
\end{align}

これらを掛けて

\begin{align}
(X^2-Y^2)^2=Z^4-4^2n^2 \\
\end{align}

両辺に\(\frac{Z^2}{2^6}\)を掛けて

\begin{align}
\frac{Z^2}{2^6}(X^2-Y^2)^2=\frac{Z^2}{2^6}Z^4 – \frac{Z^2}{2^6}4^2n^2 \\
\end{align}

\(y=\left ( \frac{(X^2-Y^2)Z}{8} \right )^2,x=\left (\frac{Z}{2}\right )^2\)とおいて整理すれば楕円曲線

\begin{align}
y^2=x^3-n^2x
\end{align}

を得る。