代数 Pythonでデカルトの正葉線を描く
デカルトの正葉線は \begin{align}x=\frac{3at}{1+t^3}, \hspace{5mm} y=\frac{3at^2}{1+t^3}\end{align} で表される方程式である。グラフは となる。
代数
代数 
python Pythonでxが原点周りのときのy=sin xのグラフ
\(y=\sin x\)は\(x\)が十分小さい時、\(y=x\)と近似できることが知られている。一周期分を取り出せば ２つのグラフのズレはこんな感じ。 たしかに小さいとよく一致している。
代数 交代行列の対角成分の性質
交代行列の対角成分は0となる。交代行列の定義 \begin{align}A^{T}={}^{t} A=-A\end{align} より \begin{align}A^{T}+A\end{align} を考える。対角成分\(a_{ii}\)は...
代数 交代行列の定義
転置行列がもとの行列の\(-1\)倍となる行列 \begin{align}A^{T}={}^{t} A=-A\end{align} を交代行列という。
代数 直交変換と内積の関係
直交変換において、内積の結果は不変となる。即ち \begin{align}u=Av\end{align} において \begin{align}u^{T} u &= v^{T} v \\\| u \| &= \| v \|\end{align...
代数 直交変換の定義
ベクトル\(v\)について、直交行列\(A\)との積 \begin{align}u=Av\end{align} を直交変換という。
代数 直交行列の定義
次の性質を満たす正方行列\(A\)を直交行列という。 \begin{align}A^{T}A = A A^{T} = E\end{align}
代数 部分分数分解のやり方 その１
部分分数分解を考える \begin{align}\frac{cx+d}{(x+a)(x+b)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}\end{align} 右辺を通分すれば \begin{align}\frac{cx+d}...
代数 3次式の因数分解と展開に関する公式について
今回は３次式の因数分解・展開公式が実際に成り立つか確認する。 まず \begin{align}x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\end{align} については多項式の除法を使って となる。 \begin{align}x^...
C/C++/C# C++でアペリーの定理を計算する
ゼータ関数が\(s=3\)の時の結果が無理数であるという結果である。今回はC++でアペリーの定理を計算する。 \begin{align}\zeta(3)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}=1.2020569 \...
代数 一次独立と一次従属
\(n\)個のベクトル \begin{align}\sum_{i=1}^{n} a_i x_i=0\end{align} について\(a_i\)以外に解が無いとき一次独立という。\(a_i\)以外に解があるとき一次従属という。
C/C++/C# Eigenで逆行列を求める
coreのほかにLUも必要。 #include "../Eigen/core" #include "../Eigen/LU" あとは A.inverse() とすればいい。 実行結果。 -0.666667 -1.33333 1 -0.666...
C/C++/C# 行列の固有値と行列式の関係
行列の固有値の積は行列式の値と等しくなる。これをEigenで試す。 実行結果 固有値 (16.7075,0) (-0.905741,0) (0.198246,0) 行列式 -3 確かめれば \begin{align}16.7075 \tim...
C/C++/C# Eigenで固有値と固有ベクトルを計算する
Eigenで固有値と固有ベクトルを求めるには Eigen::EigenSolver< Eigen::MatrixXf > s(A); とした後、sに対して s.eigenvalues() とすれば固有値を、 s.eigenvectors()...
C/C++/C# トレースとフロベニウスノルムの関係
\(A\)と\(A\)の転地の積のトレースはフロベニウスノルムの二乗と等しくなる。つまり \begin{align}\mathrm{tr} (A A^{T}) = \mathrm{tr} (A^{T} A) = \sum_{i=1}^{n}...
C/C++/C# トレースの性質
トレースにはつぎのようなの性質がある。 \begin{align}\mathrm{tr} {A1} + \mathrm{tr}{A2} &= \mathrm{tr} ( A1+A2 ) \\a\ \mathrm{tr} {A1} &= \m...
C/C++/C# トレースの性質 その１
トレースには次の性質がある。 \begin{align}tr (A+B) = tr A + tr B\end{align} 今回はこれをC++で計算する。 実行結果 1,2,3, 4,5,6, 7,8,9, 10,11,12, 13,14,...
C/C++/C# C++でトレースを求める
正方行列の対角成分の和 \begin{align}tr A = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}\end{align} をトレースという。 今回はこれをC++で計算する。 実行結果 1,2,3, 4,5,6, 7,8,9, 15 ...
代数 二次形式の定義
\(n\)個の変数による二次形式は \begin{align}f(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n)=\sum_{i=1,j=1}^{n} c_{i,j} x_i x_j\end{align} \(n=2\)の時は定数\...
代数 行列の特異値
行列\(A\)について、その随伴行列\(A^{*}\)との積\(AA^{*}\)を考える。この時固有値\(\lambda(AA^{*})\)の平方根を \begin{align}\sigma(A)=\sqrt{AA^{*}}\end{ali...