二次形式の定義

\(n\)個の変数による二次形式は

\begin{align}
f(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n)=\sum_{i=1,j=1}^{n} c_{i,j} x_i x_j
\end{align}

\(n=2\)の時は定数\(x,y,z\)を定めることで

\begin{align}
f(x_1,x_2)= a x_{1}^2 + 2b x_{1} x_{2} + c x_{2}^2
\end{align}

行列を使えば

\begin{align}
f(x_1,x_2)=
\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & b \\ b& c
\end {pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1} \\ x_{2}
\end{pmatrix}
\end{align}

ここで

\begin{align}
\boldsymbol{x}^{T} =
\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2}
\end{pmatrix},\boldsymbol{A}=
\begin{pmatrix}
a & b \\ b& c
\end {pmatrix}
\end{align}

とすれば

\begin{align}
f(x_1,x_2)= \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}
\end{align}

となる。