共振角周波数と共振値

次のような二次遅れ系

\begin{align}
G(s)=\dfrac{R(s)}{C(s)}=\dfrac{\omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s+ \omega_{n}^2}
\end{align}

の共振角周波数\(\omega_{p}\) と共振値 \(M_{p}\)を求める。この系の伝達関数の周波数伝達関数\(G(j \omega) \) は

\begin{align}
G(j \omega)=\dfrac{1}{1+j 2 \zeta \left( \dfrac{\omega}{\omega_{n}} \right) – \left ( \dfrac{\omega}{\omega_{n}} \right)^2}
\end{align}

ゲイン\(M\)は

\begin{align}
M=\left | G(j \omega) \right | =\dfrac{1}{\sqrt{ \left \{ 1- \left( \dfrac{\omega}{\omega_{n}} \right )^2 \right \}^2 + \left \{ 2 \zeta \left ( \dfrac{\omega}{\omega_{n}} \right ) \right \}^2 }}
\end{align}

ここで\(u=\dfrac{\omega_{p}}{\omega_{n}}\)とすると

\begin{align}
M=\left | G(j \omega) \right | =\dfrac{1}{\sqrt{ \left \{ 1- u^2 \right \}^2 + \left ( 2 \zeta u \right )^2 }}
\end{align}

を得る。この関数のグラフは\(\zeta\)を変化させ個々にプロットすれば

となる。丸の点は各グラフの最大値になっている。次にこのグラフの最大値を求める。最大値は

\begin{align}
\dfrac{dM}{du}= u^2 – 1 + 2 \zeta^2=0
\end{align}

より

\begin{align}
u= \sqrt{1 – 2 \zeta^{2}}
\end{align}

最大値の時の\(u\)を\(u_p\)とすれば

\begin{align}
u_{p}= \sqrt{1 – 2 \zeta^{2}}=\dfrac{\omega_{p}}{\omega_{n}}
\end{align}

この時の\(\omega\)を共振角周波数といい\(\omega_{p}\)と置けば

\begin{align}
\omega_{p}= \omega_{n} \sqrt{1 – 2 \zeta^{2}}
\end{align}

また、この周波数が存在するには

\begin{align}
1 – 2 \zeta^{2} >0
\end{align}

となる必要が有るため\(\zeta\)は

\begin{align}
\zeta < \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{align}

としなければならない。共振値\(M_{p}\)は\(u=u_{p}\)を代入して整理すれば

\begin{align}
M_{p} = \dfrac{1}{2 \zeta \sqrt{1 – \zeta^2}}
\end{align}

となる。