関数とノルム

信号などの大きさを図る手法としてノルムが定義されている。普段よく使う絶対値

\begin{align}
|x|=
\begin{cases}
x \hspace{5mm} &( x \geq 0) \\
-x &( x < 0)
\end{cases}
\end{align}

や\(n\)次元ユークリッド距離

\begin{align}
d_n= \sqrt{x^2_1+x^2_2+x^2_3+\cdots + x^2_n}
\end{align}

もその一例である。

よく使うノルムとその定義は以下のとおりである。

１ノルム

\begin{align}
\| v \|_{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |v(t)| dt
\end{align}

２ノルム

\begin{align}
\| v \|_{2} = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} v(t)^{2} dt}
\end{align}

\(H_{\infty}\)ノルム

\begin{align}
\| v \|_{\infty} = \int_{-\infty}^{\infty} \max_{\omega \in(-\infty,\infty)}|v(j \omega)| dt
\end{align}