線形システムに対するリアプノフの定理の必要十分条件

線形システムの安定性を考える。このとき

\begin{align}
V(x)=x^{T} Px
\end{align}

と考えればその微分は

\begin{align}
\dot{V} (x)=\dot{x}^{T} P x + x^{T} P \dot{x}
\end{align}

ここで\(\dot{x}=Ax\)であるとすれば

\begin{align}
\dot{V} (x)=x^{T} A^{T} P x + x^{T} P Ax = x^{T} (A^{T} P + P A) x
\end{align}

また、\(-Q=A^{T} P + P A\)となるような\(P\)が存在するならば

\begin{align}
\dot{V} (x) = – x^{T} Q x
\end{align}

を得る。これよりシステムは\(\dot{V} (x)\)は負定関数となり明らかに漸近安定となる。

したがってある線形システムについて

\begin{align}
A^{T} P +PA =-Q
\end{align}

となるようなPが存在するとき、システムは漸近安定となる。