Lyapunov方程式を証明する

システムの安定性を調べるにはLyapunov方程式

$$\begin{align} PA+A^{T}P=-Q \end{align}$$

を調べればいい。

$P$は$A$の固有値の実部が負であれば

$$\begin{align} P=\int_0^\infty e^{A^{T}t} Q e^{At} dt \end{align}$$

が存在するので代入して計算すれば

$$\begin{align} PA+A^{T}P&=\int_0^\infty e^{A^{T}t} Q e^{At} Adt+\int_0^\infty A^{T}e^{A^{T}t} Q e^{At} dt\\ &=-Q \end{align}$$

を得る。