Lyapunov方程式を証明する

システムの安定性を調べるにはLyapunov方程式

\begin{align}
PA+A^{T}P=-Q
\end{align}

を調べればいい。

\(P\)は\(A\)の固有値の実部が負であれば

\begin{align}
P=\int_0^\infty e^{A^{T}t} Q e^{At} dt
\end{align}

が存在するので代入して計算すれば

\begin{align}
PA+A^{T}P&=\int_0^\infty e^{A^{T}t} Q e^{At} Adt+\int_0^\infty A^{T}e^{A^{T}t} Q e^{At} dt\\
&=-Q
\end{align}

を得る。