正実性と強正実性

任意の伝達関数\(G(s)\)

\begin{align}
G(s)=\dfrac{K_{p} (s -\sigma_{1})(s – \sigma_{2}) \cdots (s – \sigma_{m})} {(s – \lambda_{1})(s – \lambda_{2}) \cdots (s – \lambda_{m})}
\end{align}

について、実部と虚部を\(M,N\)とすると

\begin{align}
G(s)=M+jN
\end{align}

となる。このとき\(\Re s \geq 0\)で

\begin{align}
\Re G(s) \geq 0
\end{align}

となれば伝達関数は正実(positive real, PR)でであるという。
例えば
\begin{align}
G(s)=\dfrac{1}{s+1}
\end{align}
は\(s=\sigma+j \omega\)とすれば
\begin{align}
G(s)=\dfrac{1+\sigma}　{(1+\sigma)^\mathrm{2}+\omega^\mathrm{2}} – \dfrac{\omega} {(1+\sigma)^\mathrm{2}+\omega^\mathrm{2}}
\end{align}
よりSRである。

また、ある整数\(\varepsilon\)が存在して\(G(s-\varepsilon)\)がSRであるならば強正実(strictly positive real, SPR)という。
SPRかどうかについて調べる方法は上記のSRを調べる方法と同様にすればいい。