【代数】クロネッカー積の定義と計算例

行列\(A = (a_{ij}) \)および行列\(B\)のクロネッカー積は

\begin{align}
A \otimes B=
\begin{pmatrix}
a_{11} B & \cdots & a_{1n} B\\
a_{21} B & \cdots & a_{2n} B\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B
\end{pmatrix}
\end{align}

で与えられる。

例：

\begin{align}
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}\hspace{10mm}
B=
\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{pmatrix}
\end{align}

のとき\(A \otimes B\)は

\begin{align}
A \otimes B=
\begin{pmatrix}
1 \times 5& 1 \times 6& 2 \times 5& 2 \times 6\\
1 \times 7& 1 \times 8& 2 \times 7& 2 \times 8\\
3 \times 5& 3 \times 6& 4 \times 5& 4 \times 6\\
3 \times 7& 3 \times 8& 4 \times 7& 4 \times 8
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
5& 6& 10&12\\
7& 8& 14& 16\\
15& 18& 20& 24\\
21& 24& 28& 32
\end{pmatrix}
\end{align}