ガンマ関数の極限表示

ガンマ関数の極限表示を求める。\((z-1)!\)について

\begin{align}
(z-1)!&=\frac{z!}{z}\\
&=\frac{n!n^z \dfrac{(n+1)}{n}\dfrac{(n+2)}{n} \cdots \dfrac{(n+z)}{n}}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}
\end{align}

\(n \to \infty\)とすると

\begin{align}
(z-1)!&=\lim_{n \to \infty} \frac{n!n^z \dfrac{(n+1)}{n}\dfrac{(n+2)}{n} \cdots \dfrac{(n+z)}{n}}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}\\[1.5ex]
&=\lim_{n \to \infty} \frac{n^z n!}{\prod_{k=0}^{n} (z+k)}
\end{align}

を得る。