数学

\(x^a(a\neq -1)\)の積分 \begin{align}\int x^a dx\end{align} は、微分して\(x^a\)となる関数が\(\dfrac{1}{a+1}x^{a+1}\)であるから \begin{align}...

ガンマ関数の積表示を求める。\(\Gamma(z)=(z-1)!\)について \begin{align}\Gamma(z)=\frac{z!}{z}=\frac{n!n^z \dfrac{(n+1)}{n}\dfrac{(n+2)}{n} ...

ガンマ関数の極限表示を求める。\((z-1)!\)について \begin{align}(z-1)!&=\frac{z!}{z}\\&=\frac{n!n^z \dfrac{(n+1)}{n}\dfrac{(n+2)}{n} \cdots \...

\(0\)ではない任意のベクトル\(A,B\)について \begin{align}A \cdot B = 0 \end{align} が成り立つとき、\(A,B\)は直行し、\(A \perp B\)と表す。

底辺\(a\)高さ\(h\)の三角形の面積は \begin{align}S = \frac{1}{2} ah\end{align} 三角関数を使って整理すれば \begin{align}S&=\frac{1}{2}ab\sin C\\&=\...

Gauss関数の積分を求める。\(I\)を \begin{align}I&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx\\\end{align} とすると\(I^2\)は \begin{align}I^{2...

実数列\(\{a_n|n=0,1,\cdots\}\)において、任意の\(\varepsilon>0\)に対し\(n\ge N\)となる正の整数\(N\)が存在して \begin{align}|a_n-a|<\varepsilon\end{...

直角三角形\(ABC\)において、三角関数の定義より次が成り立っている。 \begin{align}\sin \theta =\frac{a}{c} \hspace{10mm} \cos \theta =\frac{b}{c}\end{al...

行列\(A = (a_{ij}) \)および行列\(B\)のクロネッカー積は \begin{align}A \otimes B=\begin{pmatrix}a_{11} B & \cdots & a_{1n} B\\a_{21} B & ...

\(n \in \mathbb{N} \)回の繰り返し微分可能な関数\(f(x)\)について、同じ変数\(x\)について繰り返し微分することを高階微分という。 高階微分は次のように表現する。 \begin{align}\frac{d^n}{...

\(n \in \mathbb{N} \) について、\(n\)回微分可能な関数\(f(x)\)の\(n-1\)回目の導関数を\( f^{(n-1)}(x)\) とすると、\(n\)回目の導関数は\(f^{(n)}(x) \) と記述するこ...

三角関数の複素数表示 \begin{align}\sin x= \frac{e^{i x } - e^{- i x} }{2 i} \hspace{10mm} \cos x= \frac{e^{i x } + e^{- i x} }{2 }...

双曲線関数 \begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align} について \begin{align}\sinh^2...