ガンマ関数の積表示

ガンマ関数の積表示を求める。\(\Gamma(z)=(z-1)!\)について

\begin{align}
\Gamma(z)=\frac{z!}{z}=\frac{n!n^z \dfrac{(n+1)}{n}\dfrac{(n+2)}{n} \cdots \dfrac{(n+z)}{n}}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}
\end{align}

の結果を用いて

\begin{align}
\Gamma(z) &=\lim_{n \to \infty} \frac{n!n^z \dfrac{(n+1)}{n}\dfrac{(n+2)}{n} \cdots \dfrac{(n+z)}{n}}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}\\[1.5ex]
&=\lim_{n \to \infty} \frac{n! \dfrac{(n+1)}{n}\dfrac{(n+2)}{n} \cdots \dfrac{(n+z)}{n}}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)} \left( \frac{2}{1} \frac{3}{2} \cdots \frac{n+1}{n} \right)^n \\[1.5ex]
&=\frac{1}{z} \prod_{n =1}^{\infty} \left \{ \left (1+\frac{1}{n} \right )^z \left (1+\frac{1}{z} \right )^{-1} \right \}
\end{align}

を得る。