ヘロンの公式を導出する

底辺\(a\)高さ\(h\)の三角形の面積は

\begin{align}
S = \frac{1}{2} ah
\end{align}

三角関数を使って整理すれば

\begin{align}
S&=\frac{1}{2}ab\sin C\\
&=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2 C}
\end{align}

余弦定理より

\begin{align}
S&=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\left (\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)^2}\\
&=\frac{1}{4}\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\\
&=\frac{1}{4}\sqrt{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}\\
&=\frac{1}{4}\sqrt{\{(a+b)^2-c^2\}\{c^2-(a-b)^2\}}\\
&=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\\
&=\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\frac{(-a+b+c)}{2}\frac{(a-b+c)}{2}\frac{(a+b-c)}{2}}
\end{align}

ここで \(s=\dfrac{a+b+c}{2}\) とおけば

\begin{align}
S &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(a-c)}\\
s&=\frac{a+b+c}{2}
\end{align}

を得る。