Gauss関数の積分を求める。\(I\)を
\begin{align}
I&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx\\
\end{align}
とすると\(I^2\)は
\begin{align}
I^{2}&=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx \right)^{2}\\
&=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx \right) \cdot \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ay^{2}} dy \right)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dy e^{-a(x^{2}+y^{2})}
\end{align}
\(x=r \cos \theta, y=r \sin \theta\)と置いて
\begin{align}
I^{2}=\int_{0}^{\infty} re^{-ar^{2}} dr \int_{0}^{2 \pi} d \theta = \pi \left[ – \frac{1}{2a} e^{-ar^{2}} \right]_{0}^{\infty}=\frac{\pi}{a}
\end{align}
よって\(I>0\)より
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{align}
を得る。
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