ガウス関数の積分

Gauss関数の積分を求める。\(I\)を

\begin{align}
I&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx\\
\end{align}

とすると\(I^2\)は

\begin{align}
I^{2}&=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx \right)^{2}\\
&=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx \right) \cdot \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ay^{2}} dy \right)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dy e^{-a(x^{2}+y^{2})}
\end{align}

\(x=r \cos \theta, y=r \sin \theta\)と置いて

\begin{align}
I^{2}=\int_{0}^{\infty} re^{-ar^{2}} dr \int_{0}^{2 \pi} d \theta = \pi \left[ – \frac{1}{2a} e^{-ar^{2}} \right]_{0}^{\infty}=\frac{\pi}{a}
\end{align}

よって\(I>0\)より

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{align}

を得る。

created by Rinker
¥3,850 (2022/12/07 09:55:59時点 Amazon調べ-詳細)
created by Rinker
¥3,850 (2022/12/07 09:55:59時点 Amazon調べ-詳細)
created by Rinker
¥3,850 (2022/12/07 09:56:01時点 Amazon調べ-詳細)

コメント

タイトルとURLをコピーしました