python 【制御】Pythonで単位ステップ関数を描く
Pythonで単位ステップ関数を描画する。単位ステップ関数は\begin{align}H(x)=\begin{cases}1 \hspace{10mm} (x \geq 0)\\0 \hspace{10mm} (x <0)\end{case...
しろねこ
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python 【解析】Sympyの関数を使ってヘビサイドの階段関数を描画する
Sympyの関数を使ってヘビサイドの階段関数を描画する。ヘヴィサイドの階段関数は\begin{align}H(x)=\begin{cases}1 \hspace{10mm} (x >0)\\0 \hspace{10mm} (x <0)\en...
制御工学 【制御】一般化プラントの定義
ある物理システムをそのまま状態方程式にしたもの、あるいはその拡大系が次のように表されているとする。\begin{align}\dot{x}(t) &= Ax(t)+Bu(t)\\y(t) &= Cx(t)+Du(t)\end{align}今...
代数 【代数】クロネッカー積の定義と計算例
行列\(A = (a_{ij}) \)および行列\(B\)のクロネッカー積は\begin{align}A \otimes B=\begin{pmatrix}a_{11} B & \cdots & a_{1n} B\\a_{21} B & \...
制御工学 【制御】ドイルの記法を使った伝達関数表現
ドイルの記法を用いれば状態方程式\begin{align}\dot{x}(t)&=Ax+Bu\\y(t)&=Cx+Du\end{align}の伝達関数を\begin{align}G(s)=C(sI-A)^{-1} B + D= \left ...
制御工学 【制御】無限大ノルムの性質２
伝達関数\(G(s)\)について、\(H_{\infty}\)ノルムは\begin{align}\parallel G(s) \parallel_{\infty} = \sup_\omega \left | G(s) \right |\en...
制御工学 【制御】無限大ノルムの性質１
無限大ノルム\begin{align}\parallel G(s) \parallel_{\infty} = \sup_\omega \left | G(s) \right |\end{align}は伝達関数\(G(s)\)の\(s=j\o...
python 【制御】互いに逆数の関係にあるシステムのボード線図と性質
2つのシステムが\begin{align}G_1=\frac{1}{s^2+s+1} \hspace{10mm} G_2= \frac{1}{G_1}\end{align}のような逆数の関係にある時、それぞれのボード線図は\(x=0\)で反...
python 【制御】直列に接続されたシステムのボード線図と性質
2つのシステム\begin{align}G_1=\frac{1}{s} \hspace{10mm} G_2=\frac{1}{s^2+s+1}\end{align}が直列に接続されているとき、全体のボード線図はそれぞれの伝達関数のボード線図...
数学 【解析】高階微分の表記
\(n \in \mathbb{N} \)回の繰り返し微分可能な関数\(f(x)\)について、同じ変数\(x\)について繰り返し微分することを高階微分という。高階微分は次のように表現する。\begin{align}\frac{d^n}{dt...
数学 【解析】高階微分の定義
\(n \in \mathbb{N} \) について、\(n\)回微分可能な関数\(f(x)\)の\(n-1\)回目の導関数を\( f^{(n-1)}(x)\) とすると、\(n\)回目の導関数は\(f^{(n)}(x) \) と記述するこ...
数学 【解析】双曲線関数と三角関数の相互関係
三角関数の複素数表示\begin{align}\sin x= \frac{e^{i x } - e^{- i x} }{2 i} \hspace{10mm} \cos x= \frac{e^{i x } + e^{- i x} }{2 }\...
python 【解析】双曲線関数の性質３
双曲線関数\begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align}について\begin{align}\sinh x \t...
python 【解析】双曲線関数の性質２
双曲線関数\begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align}について\begin{align}\sinh x + ...
数学 【解析】双曲線関数の性質１
双曲線関数\begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align}について\begin{align}\sinh^2 x ...
数学 【解析】Pythonでライブラリを使わずに双曲線関数を計算する
Pythonで双曲線関数を計算する場合np.sinh(theta)などとすればいいが、使わずに計算することもできる。双曲線関数の定義\begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x=...
数学 【解析】双曲線関数を定義する
双曲線関数はネイピア数\(e\)を用いて\begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align}\(\tanh x\)に...
python 【解析】Pythonで三角関数３種のグラフを描く
Pythonで三角関数\begin{align}y&= \sin x\\y&= \cos x\\y&= \tan x\\\end{align}を描く。結果以下ソースコードimport numpy as npimport matplotlib...
python 【解析】Pythonで双曲線関数を描く
Pythonで双曲線関数\begin{align}y&= \sinh x\\y&= \cosh x\\y&= \tanh x\\\end{align}を描く。結果以下ソースコードimport numpy as npimport matplo...
MATLAB/simulink 【解数】Pythonで指数と対数のグラフを描く
指数と対数のグラフを描く。以下ソースコードimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx = np.arange(-10.0, 10.0, 0.02)plt.plot(x, x**3)p...