数学 ガンマ関数の積表示
ガンマ関数の積表示を求める。\(\Gamma(z)=(z-1)!\)について \begin{align}\Gamma(z)=\frac{z!}{z}=\frac{n!n^z \dfrac{(n+1)}{n}\dfrac{(n+2)}{n} ...
数学
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python 数列によるネイピア数の定義とグラフ
ネイピア数は数列を使って \begin{align}e=\lim_{n \to \infty} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n\end{align} で定義される。収束の様子は次のようになる。 以下コー...
数学 ガンマ関数の極限表示
ガンマ関数の極限表示を求める。\((z-1)!\)について \begin{align}(z-1)!&=\frac{z!}{z}\\&=\frac{n!n^z \dfrac{(n+1)}{n}\dfrac{(n+2)}{n} \cdots \...
python 素数定理のグラフを描く
\(n\)までの自然数に含まれる素数の数を\(\pi(x)\)とおく。\(n\)を大きくしていくと \begin{align}\pi(x) \sim \frac{n}{\log x}\end{align} が成り立つ。この関係を素数定理とい...
代数 ベクトルの内積と垂直
\(0\)ではない任意のベクトル\(A,B\)について \begin{align}A \cdot B = 0 \end{align} が成り立つとき、\(A,B\)は直行し、\(A \perp B\)と表す。
幾何 ヘロンの公式を導出する
底辺\(a\)高さ\(h\)の三角形の面積は \begin{align}S = \frac{1}{2} ah\end{align} 三角関数を使って整理すれば \begin{align}S&=\frac{1}{2}ab\sin C\\&=\...
数学 ガウス関数の積分
Gauss関数の積分を求める。\(I\)を \begin{align}I&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx\\\end{align} とすると\(I^2\)は \begin{align}I^{2...
数学 数列の極限
実数列\(\{a_n|n=0,1,\cdots\}\)において、任意の\(\varepsilon>0\)に対し\(n\ge N\)となる正の整数\(N\)が存在して \begin{align}|a_n-a|<\varepsilon\end{...
数学 【解析】三角関数の性質１
直角三角形\(ABC\)において、三角関数の定義より次が成り立っている。 \begin{align}\sin \theta =\frac{a}{c} \hspace{10mm} \cos \theta =\frac{b}{c}\end{al...
python 【制御】Pythonで単位ステップ関数を描く
Pythonで単位ステップ関数を描画する。単位ステップ関数は \begin{align}H(x)=\begin{cases}1 \hspace{10mm} (x \geq 0)\\0 \hspace{10mm} (x <0)\end{cas...
python 【解析】Sympyの関数を使ってヘビサイドの階段関数を描画する
Sympyの関数を使ってヘビサイドの階段関数を描画する。ヘヴィサイドの階段関数は \begin{align}H(x)=\begin{cases}1 \hspace{10mm} (x >0)\\0 \hspace{10mm} (x <0)\e...
代数 【代数】クロネッカー積の定義と計算例
行列\(A = (a_{ij}) \)および行列\(B\)のクロネッカー積は \begin{align}A \otimes B=\begin{pmatrix}a_{11} B & \cdots & a_{1n} B\\a_{21} B & ...
数学 【解析】高階微分の表記
\(n \in \mathbb{N} \)回の繰り返し微分可能な関数\(f(x)\)について、同じ変数\(x\)について繰り返し微分することを高階微分という。 高階微分は次のように表現する。 \begin{align}\frac{d^n}{...
数学 【解析】高階微分の定義
\(n \in \mathbb{N} \) について、\(n\)回微分可能な関数\(f(x)\)の\(n-1\)回目の導関数を\( f^{(n-1)}(x)\) とすると、\(n\)回目の導関数は\(f^{(n)}(x) \) と記述するこ...
数学 【解析】双曲線関数と三角関数の相互関係
三角関数の複素数表示 \begin{align}\sin x= \frac{e^{i x } - e^{- i x} }{2 i} \hspace{10mm} \cos x= \frac{e^{i x } + e^{- i x} }{2 }...
python 【解析】双曲線関数の性質３
双曲線関数 \begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align} について \begin{align}\sinh x...
python 【解析】双曲線関数の性質２
双曲線関数 \begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align} について \begin{align}\sinh x...
数学 【解析】双曲線関数の性質１
双曲線関数 \begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align} について \begin{align}\sinh^2...
数学 【解析】Pythonでライブラリを使わずに双曲線関数を計算する
Pythonで双曲線関数を計算する場合 np.sinh(theta) などとすればいいが、使わずに計算することもできる。双曲線関数の定義 \begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh...
数学 【解析】双曲線関数を定義する
双曲線関数はネイピア数\(e\)を用いて \begin{align}\sinh x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\cosh x= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align} \(\tanh x\...