しろねこらぼ

実数の範囲では関連のなかった三角関数と指数関数だが、オイラーの公式を使うと複素数の範囲でその関係を示すことができる。まず、オイラーの公式は\begin{align}e^{i \theta } = \cos \theta + i \sin \...

PID制御は比例制御、積分制御、微分制御を組み合わせたものである。その構造は単純で幅広く使われている。比例制御は次で表される。\begin{align}K_{p} e(t) \end{align}\(K_p\)は比例ゲインと呼ばれる。同様に...

比例微分先行型PID制御系の伝達関数\( T(z^{-1}) \)を求める。\( z^{-1} \)は\( z^{-1}f(t) = f(t-1) \)を満たすような演算子である。ここで\( \Delta \)を\begin{align}\...

時間関数\(x(t)\)について、\(t=\infty\)の値をラプラス変換により得られた結果\(X(s)\)より直接求める場合最終値の定理を用いると便利である。\begin{align}\int_{0}^{\infty} \dfrac{d...

ゼータ関数 \( \zeta(s) \)\begin{align}\zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s}\end{align}の数値計算はこのままで行うのは難しい。このため数値計算を行う...

空間に置かれた剛体の回転について考える。今、剛体の姿勢を\( \boldsymbol{\eta} \)を用いて \begin{align}\boldsymbol{\eta}=\begin{pmatrix} \phi \\ \theta \\...

浮体に働く浮力ベクトルとその大きさは\begin{align}B = mg \hspace{5mm} W = - \rho g V\end{align}で表すことができる。浮体座標系から見れば\begin{align}\boldsymbol...

数学やその他分野で出てくる線形な関数とは次の性質を満たすものである。\begin{align}f(a+b)&=f(a)+f(b)\\k f(a)&=f(ka) \hspace{5mm} k \in \mathbb{R}\end{align}...

デカルトの定理が主張する凸多面体の不足和は一般に\begin{align}\left ( 2 \pi - \sum_{i=1}^{N} \dfrac{ \pi (n_{i} - 2 ) }{n_{i}} m_{i} \right ) v =...

デカルトの定理は不足角に関するものであり、ある多面体の不足和の総和を\(\theta\)とすると\begin{align}\theta = 2 \pi \chi\end{align}\(\chi\)はオイラー標数とも呼ばれ、\(\chi\)...

\(n\)角形で構成される正多面体の面の数を\(f\)、頂点の数を\(v\)、辺の数を\(e\)とすると、オイラーの多面体定理は\begin{align}v-e+f=2 \end{align}となる。ここで、\begin{align}e= ...

fed up with -> うんざりする

pick one's jaw up off the floor -> 開いた口が塞がらない

either way -> そもそも、どちらにしても

look down -> 見下ろす

ある集合\(A\)と\(B\)について、どちらにも含まれている元を集めた集合を積集合といい\begin{align}A \cap B\end{align}で表す。例えば\(A=\{ 1,2,3,4,5 \} \)と\(B=\{ 5,6,7 ...

\(x\)軸周りの回転を表す回転行列 \begin{align} \textbf{C}_{x}(\boldsymbol{η}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & \cos \phi & \sin \phi \...

次のようなシステムを示す\(n\)階斉次微分方程式\begin{align}\dfrac{d^n}{dt^n} y(t) &+ a_{n-1} \dfrac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t) + \cdots + a_{1} \...