回転行列の固有値と固有ベクトル

\(x\)軸周りの回転を表す回転行列

\begin{align}
\textbf{C}_{x}(\boldsymbol{η}) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos \phi & \sin \phi \\
0 & -\sin \phi & \cos \phi
\end{pmatrix}
\end{align}

の固有値は

\begin{align}
\begin{vmatrix}
t-1 & 0 & 0\\
0 & t-\cos \phi & -\sin \phi \\
0 & \sin \phi & t-\cos \phi
\end{vmatrix}=0
\end{align}

より

\begin{align}
(t-1)(t^2-2 \cos \theta t +1) = 0
\end{align}

実数の固有値は\(t=1\)となる。

\(t=1\)のとき

\begin{align}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 1-\cos \phi & -\sin \phi \\
0 & \sin \phi & 1-\cos \phi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} = 0
\end{align}

より、これを満たすベクトルは

\begin{align}
(x,y,z)=(1,0,0)
\end{align}

となり回転軸と等しくなる。