デカルトの定理は不足角に関するものであり、ある多面体の不足和の総和を\(\theta\)とすると
\begin{align}
\theta = 2 \pi \chi
\end{align}
\(\chi\)はオイラー標数とも呼ばれ、\(\chi\)は
\begin{align}
\chi = 2 – 2g
\end{align}
である。このオイラー標数は凸多面体であれば常に\(g=0\)が成り立つため\(\chi=2\)となる。
オイラー標数を考慮すれば、オイラーの多面体定理は
\begin{align}
v-e+f=2=\chi
\end{align}
と見ることもできる。
凸多面体のオイラー標数が\(2\)であったことから、不足角は
\begin{align}
\theta = 4 \pi
\end{align}
となる。各正多面体の不足角の関係をまとめると
| 頂点の数 | 不足角 | |
| 正四面体 | 4 | \(\pi\) |
| 正六面体 | 8 | \(\dfrac{\pi}{2} \) |
| 正八面体 | 6 | \(\dfrac{2}{3} \pi \) |
| 正十二面体 | 20 | \(\dfrac{\pi}{5} \) |
| 正二十面体 | 12 | \(\dfrac{\pi}{3} \) |
となり、\(4 \pi \)となることを確認できる。
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