オイラーの多面体定理を用いた正多面体の判別

\(n\)角形で構成される正多面体の面の数を\(f\)、頂点の数を\(v\)、辺の数を\(e\)とすると、オイラーの多面体定理は

\begin{align}
v-e+f=2
\end{align}

となる。ここで、

\begin{align}
e= \dfrac{nf}{2} \hspace{10mm} v=\frac{nf}{3}
\end{align}

より

\begin{align}
f=\frac{12}{2n-3n+6}
\end{align}

また、正多面体の条件より、一つの頂点に\(m\)個の正多角形が集まるとすると

\begin{align}
n \leq \dfrac{4}{m-2} +2
\end{align}

を得る。これより

\begin{align}
\begin{cases}
f=\dfrac{12}{2n-3n+6} \\[1.5ex]
n \leq \dfrac{4}{m-2} +2
\end{cases}
\end{align}

を満たすものを調べれば正多面体を判別することができる。