複素数の三角不等式

\(|z_1 + z_2| \leq |z_1| +| z_2|\) が成り立つことを示す。

\begin{align}
|z_1 + z_2| &= \sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}\\
|z_1| +| z_2| &= \sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}
\end{align}

両辺の二乗の差が正であればいいから

\begin{align}
& \left ( \sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}\right )^2- \left ( \sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}\right )^2\\
&= \sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}- \left ( \sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}\right )^2\\
&=2 \left ( \sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}- (x_1 x_2 + y_1 y_2) \right )
\end{align}

一方で

\begin{align}
(x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2) – (x_1 x_2 + y_1 y_2)^2 = (x_2 y_1 – x_1 y_2)^2 \geq 0
\end{align}

であるから

\begin{align}
\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)} \geq x_1 x_2 + y_1 y_2
\end{align}

よって\(|z_1 + z_2| \leq |z_1| +| z_2|\) が成り立つ。