Re(s)>0 のとき
\begin{align}
\lim_{t \to \infty} t^n e^{-st} = 0
\end{align}
が成り立つことを示す。
\(s=\alpha+ j \omega\)とすると
\begin{align}
| t^n e^{-st} | = | t^n e^{-\alpha t} | | e^{-j \omega t} | = t^n e^{-\alpha t}
\end{align}
これより
\begin{align}
\lim_{t \to \infty} | t^n e^{-\alpha t} | = \lim_{t \to \infty} t^n e^{-\alpha t}
\end{align}
ロピタルの定理を使えば
\begin{align}
\lim_{t \to \infty} = \lim_{t \to \infty} t^n e^{-\alpha t}= \lim_{t \to \infty} \frac{n!}{a^n e^{at}} = 0
\end{align}
を得る。
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