極限の計算　その１

Re(s)>0 のとき

\begin{align}
\lim_{t \to \infty} t^n e^{-st} = 0
\end{align}

が成り立つことを示す。

\(s=\alpha+ j \omega\)とすると

\begin{align}
| t^n e^{-st} | = | t^n e^{-\alpha t} | | e^{-j \omega t} | = t^n e^{-\alpha t}
\end{align}

これより

\begin{align}
\lim_{t \to \infty} | t^n e^{-\alpha t} | = \lim_{t \to \infty} t^n e^{-\alpha t}
\end{align}

ロピタルの定理を使えば

\begin{align}
\lim_{t \to \infty} = \lim_{t \to \infty} t^n e^{-\alpha t}= \lim_{t \to \infty} \frac{n!}{a^n e^{at}} = 0
\end{align}

を得る。