ゼータ関数 \( \zeta(s) \)
\begin{align}
\zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s}
\end{align}
の数値計算はこのままで行うのは難しい。
このため数値計算を行う際にはEuler-Maclaurinの和公式がよくつかわれている。
区間\( (k,k+1) \) において滑らかな関数\( f(x) \)に対して積分\( \int_{k}^{k+1} f(x) dx \)を台形近似すればその誤差は
\begin{align}
\frac{1}{2} \left ( h(k) + h(k+1) \right ) – \displaystyle \int_{k}^{k+1} f(x) dx = \displaystyle \int^{1}_{0} \left ( t – \frac{1}{2} \right ) f'(t+k) dt
\end{align}
部分積分を繰り返し行えば
\begin{align}
\displaystyle \int^{1}_{0} \left ( t – \frac{1}{2} \right ) & f'(t+k) dt \\
& = \sum_{j=2}^{l} (-1)^{j} \left [ b_{j}(t) f^{(j-1)} (t+k) \right ]^{1}_{0} + (-1)^{l+1} \displaystyle \int^{1}_{0} b_{l} (t) f^{(l)} (t+k) dt
\end{align}
\( b_{j}(t) \)は\( t \)に関する\( j \)次多項式で
\begin{align}
b_{1}(t) = t – \dfrac{1}{2} \hspace{10mm} b_{j}(t) = \displaystyle \int_{0}^{t} b_{j-1}(s) ds + C_{j} \hspace{3mm} (j=2,3,\cdots)
\end{align}
で定義される。\( C_{j} \)は積分定数である。
これを区間\( (0,1) \)から\( (n-1,n) \)まで加えれば
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n-1} \sum_{j=2}^{l} &(-1)^{j} \left [ b_{j}(t) f^{(j-1)} (t+k) \right ]^{1}_{0} \\
&= \sum{j=2}^{l} (-1)^{j} \left [ b_{j}(1) f^{(j-1)} (n) – b_{j} (0) f^{(j-1) (0) }\right ]\\
& \hspace{10mm} +\sum_{j=2}^{l} \left ( (-1)^{j} \left ( b_{j}(1) – b_{j}(0) \right ) \sum_{k=1}^{n-1} f^{(j-1)} (k) \right )
\end{align}
ここで
\begin{align}
b_{j}(1) = b_{j} (0) \hspace{3mm} (j=2,3,\cdots) \tag{1}
\end{align}
となるように\( C_{j} \)を決めれば
\begin{align}
\dfrac{1}{2} \left ( f(0) – f(n) \right) &+ \sum_{k=1}^{n-1} f(k) – \displaystyle \int_{0}^{n} f(x) dx \\
&= \sum_{j=2}^{l} (-1)^{j} b_{j} (0) \left [ f^{(j-1)} (n) – f^{(j-1)} (0) \right ] \\
& \hspace{10mm}+ (-1)^{l+1} \displaystyle \int^{1}_{0} b_{l} (t) \sum_{k=0}^{n-1} f^{(l)} (t+k) dt
\end{align}
(1)が成り立つための必要十分条件は
\begin{align}
C_{j} = b_{j}(0) = b_{l}(1) = \displaystyle \int_{0}^{1} b_{j-1} (x) dx + C_{j} \Leftrightarrow \displaystyle \int_{0}^{1} b_{j-1} (x) dx = 0 \hspace{3mm} (j=2,3,\cdots)
\end{align}
よって
\begin{align}
C_{j} = – \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{0}^{t} b_{j-1} (s) ds dt
\end{align}
ここで母関数
\begin{align}
G(t,z) := \sum_{j=0}^{\infty} b_{j} (t) z^{j} (s)
\end{align}
について、\( b'{0}(t)=0,b'{j}(t)=b_{j-1}(t) \)を使えば
\begin{align}
\dfrac{\partial}{\partial t} G(t,z) = \sum_{j=0}^{\infty} b_{j-1} (t) z^{j} =zG(t,z)
\end{align}
また(1)より
\begin{align}
z=g(z)(e^{z} -1)
\end{align}
したがって
\begin{align}
g(z) = \dfrac{z}{e^{z}-1} \hspace{10mm} G(t,z) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{B_{j}(t) }{j!} z^{j} =\frac{ze^{tz}}{e^z-1}
\end{align}
\( B_{j}(t) = j!b{j}(t) \) と置けば
\begin{align}
G(t,z):= \sum_{j=0}^{\infty} \frac{B_{j}(t) }{j!} z^{j} =\frac{ze^{tz}}{e^z-1}
\end{align}
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