【解析】複素数の大小関係とノルム

複素数の大小関係について考える。まず実数の大小関係について

$$\begin{align} 2<3 \end{align}$$

は実数の範囲であらゆる数を乗じても、または加算しても大小関係は成り立つ。

複素数において

$$\begin{align} 2i<3i \end{align}$$

が成り立っているとする。これについて$i$を乗じると

$$\begin{align} -2<-3 \end{align}$$

となり不等式の定義に矛盾する。このため複素数に大小関係を定義することができない。そこで複素数の場合は原点もしくはある点からの距離で評価する。これをノルムという。

複素数$z=a+bi$のノルムは

$$\begin{align} d=\sqrt{a^2+b^2} \end{align}$$

で与えられる。