【代数】二次方程式の解と係数の関係性

二次方程式

\begin{align}
ax^2+bx+c=0
\end{align}

の解は

\begin{align}
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}

となる。2つの解をそれぞれ\(\alpha,\beta\)とおくと

\begin{align}
\alpha+\beta&=\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b -\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b}{a}\\
\alpha \beta&=\left (\frac{-b +\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right ) \left (\frac{-b – \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right ) = \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\\
\end{align}

\(\alpha,\beta\)を解に持つことにより

\begin{align}
ax^2+bx+c &= (x-\alpha)(x-\beta)\\
&=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta
\end{align}

を得る。

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