オイラーの公式を使った指数関数と三角関数の複素数表示

実数の範囲では関連のなかった三角関数と指数関数だが、オイラーの公式を使うと複素数の範囲でその関係を示すことができる。

まず、オイラーの公式は

\begin{align}
e^{i \theta } = \cos \theta + i \sin \theta
\end{align}

で表される。これについて

\begin{align}
e^{- i \theta } = \cos \theta – i \sin \theta
\end{align}

を考え、それぞれ不要な項を削除すれば

\begin{align}
\sin \theta = \frac{e^{i \theta } – e^{- i \theta} }{2 i} \hspace{10mm}\cos \theta = \frac{e^{i \theta } + e^{- i \theta} }{2 }
\end{align}

同様にして次の関係\( \tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \)を用いれば

\begin{align}
\tan \theta = \frac{e^{i \theta } – e^{- i \theta}}{i (e^{i \theta } + e^{- i \theta})}
\end{align}

を得る。