三角関数のマクロリーン展開を使ったバーゼル問題の解法

三角関数の級数展開を使ってバーゼル問題の値を求める。

\(\sin x\)と\(\frac{\sin x}{x}\)をマクロリーン展開する。

\begin{align}
\sin x &=x – \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
\frac{\sin x}{x} &=1 – \frac{x^2}{3!} + \cdots \\
\end{align}

因数分解して

\begin{align}
\sin x &=x(1 – \frac{x}{\pi})( 1+\frac{x}{\pi}) \cdots \\
\frac{\sin x}{x} &=(1 – \frac{x}{\pi})( 1+\frac{x}{\pi}) \cdots \\
\end{align}

\(x^2\)の係数を比較すれば

\begin{align}
\sum_{n=1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
\end{align}

を得る。