三角関数のマクロリーン展開を使ったバーゼル問題の解法

三角関数の級数展開を使ってバーゼル問題の値を求める。

$\sin x$と$\frac{\sin x}{x}$をマクロリーン展開する。

$$\begin{align} \sin x &=x – \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ \frac{\sin x}{x} &=1 – \frac{x^2}{3!} + \cdots \\ \end{align}$$

因数分解して

$$\begin{align} \sin x &=x(1 – \frac{x}{\pi})( 1+\frac{x}{\pi}) \cdots \\ \frac{\sin x}{x} &=(1 – \frac{x}{\pi})( 1+\frac{x}{\pi}) \cdots \\ \end{align}$$

$x^2$の係数を比較すれば

$$\begin{align} \sum_{n=1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{align}$$

を得る。